NOTES TO lecture on prime numbers
title: Prime numbers - All prime numbers
lecturer: Rudolf Taschner
date: 08.05.07 bzw. 09.03.27
author: Lukas Prokop
introduction: Very interesting lecture on the mathematical background of prime numbers
via: http://mathcast.org/

Gauß:
	konnte alle Primzahlen erfassen
	Buch von der Vermessung der Welt
	"Er hat sie beinahe alle persönlich gekannt"
	Pi(x) ... alle Primzahlen bis x
	Pi(10) = 4
	Pi(100) = 25
	Pi(1000) = 168 (31 Quadratzahlen)
	Pi(10000) = 1229 (100 Quadratzahlen)

Gauß:
	x/Pi(x) = ?
	=> bis 10: jede 2./3. Zahl Primzahl
	=> bis 100: jede 4. Zahl Primzahl
	=> bis 1000: jede 6. Zahl Primzahl
	=> bis 10000: jede 8. Zahl Primzahl
	...

	Koordinatensystem mit logarithmischer Einteilung (n = Laufvariable)
		x-Achse mit 10^n (10, 100, 1000, 10000, ...)
		y-Achse mit 0 < n < 11 (2.3, 4, 6, 8, ...)
		=> beinahe Gerade (Steigung 2.3)
	2.3 = Logarithmus von 10
	=> Primzahlsatz
		sagt aus, dass die Verteilung der Primzahlen nach diesem geradlinigen Gesetz auf einer logarithmischen Skala verläuft
		Gaußsche Behauptung: angeblich auch: je größer die Zahl, desto näher an Gerade dran

		
	Wie darauf gekommen?
		Nicole Doresm/Euresm
		vor Descardes Idee, wie Koordinatensystem einführen kann
		1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... = ? (harmonische Reihe)
		Alle Kehrwerte der natürlichen Zahlen addieren gleich?
		Ergebnis: unendlich
		harmonische Reihe, weil 1/3 das harmonische Mittel zwischen 1/2 und 1/4
		-> Reihe divergiert nach unendlich
		1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1 + (1/2) + (1/2)
		unendlich viele 1/2 summiert, müssen unendlich sein
		=> harmonische Reihe noch größer

Euler
	Reihe mit endliche Reihe
	1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
	1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ... = s
	Euler: ist unendlich (Archimedes hatte s bereits berechnet)
	Eulers Summen Rechnung:
		2s = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...
		=> 2s = 2 + s
		=> s = 2 (logischer Fehler, aber Idee gut)
	andere Reihe (3):
		s = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...
		3s = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ...
		=> 3s = 3 + s
		=> s = 3/2 = 1.5
	andere Reihe (5):
		s = 1 + 1/5 + 1/25 + 1/125 + ...
		5s = 5 + 1 + 1/5 + 1/25 + 1/125 + ...
		=> 5s = 5 + s
		=> s = 5/4 = 1.2
	... s_n = n/(n-1)
	Idee:
		1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...
		= (1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ...) 
		* (1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ...) 
		* (1 + 1/5 + 1/5^2 + 1/5^3 + ...) 
		* (1 + 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + ...)
		* ...

	Beweis:
		alle Einser (1. Spalte) => 1
		erste Reihe 1/2 und alle Einser => 1/2
		zweite Reihe 1/3 und alle anderen Einser => 1/3
		dritte Reihe 1/5 und alle anderen Einser => 1/7
		...
		[ 2, 3, 7, 11, ... => Primzahlen
		harmonische Reihe -> unendlich (laut Euresm)
		(1 + 1/2 + ...) * (1 + ...) -> Darstellung ist endlich, da
		oben bewiesen: s ist zB 7/8
		"Wenn es, so sagt dann Euler, unendlich viele Primzahlen gäbe, dann würde ich ja nur ein endliches Produkt von ein paar Zahlen auseinander multiplizieren müssen und dann das Ergebnis haben, das wäre endlich groß ist. Aber es kommt ja nicht endliche Größe heraus. Es kommt ja unendlich heraus. Und daher sagt Euler: Es kann nicht nur endlich viele Primzahlen geben"
		=> Wie schnell diese harmonische Reihe nach unendlich geht, zeigt wie schnell Primzahlen wachsen (Euler)
		sigma(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/x
		sigma(10) = 2.3
		sigma(100) = 5.19
		sigma(1000) = 7.49
		sigma(10000) = 9.79
		sigma(100000) = 12.09
		... (unglaublich langsame Divergation gegen Unendlich)
	wieder logarithmische Skala:
		=> gleiche Gerade wie bei Primzahlen
Bernhard Riemann (Schüler Gauß, nur 40 Jahre alt geworden):
	Gauß wollte 3. Vortrag von Riemann sehen
	3. Vortrag über Gekrümmte Räume (kaum Formeln enthalten, sehr schwer verständlich)
	danach harmonische Reihen betrachtet
	1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...
	wenn s > 1, dann Reihe hat endlichen Wert
	wenn s = 1, dann Reihe gegen unendlich
	s als komplexe Zahl (s mit Real- und Imaginärteil)
	Formel (Zetafunktion) gefunden, die für s < 1 gilt
	[ wenn s = 1, dann Zeta unendlich
2 Mathematiker beweisen, dass Gauß Recht hatte
"Wer den Primzahlsatz beweist, ist unsterblich"
Wenn man alle Primzahlen erfassen kann => logarithmisches Gesetz erkennbar
"Die Primzahlen sind (daher) wunderschöne Objekte"
Primzahlen nicht nur schön, sondern auch notwendig
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = unendlich