NOTES TO lecture on prime numbers
title: Prime numbers - The big ones
lecturer: Rudolf Taschner
date: 08.04.02 bzw. 09.03.27
author: Lukas Prokop
introduction: Very interesting lecture on the mathematical background of prime numbers
via: http://mathcast.org/

Ägypten
unendlich viele Dimensionen
Euklid: unendlich viele Primzahlen, weil ...
	2*3*5 + 1 = 31
		kann nicht 2, 3 oder 5fach sein
		31 mod 2 = 1
		31 mod 3 = 1
		31 mod 5 = 1
		31... Primzahl... evtl. eine Methode Primzahlen zu finden
	7*11*13 = 1001
	2*3*5*7*9*11*13*17 + 1 = 30031
		Primzahl
	Deshalb Argument:
		Wenn du alle Primzahlen hast, dann bilde das Produkt + 1... und wieder neue Primzahl
	Falsch:
		59*509 = 30031
		damit Methode zerschlagen
		konstruktiv aber nicht effektiv

Heutige Annahme: "Es gibt unendlich viele Primzahlen"
Euklid:
	Nie: Es gibt unendlich viele Primzahlen
	Sondern: Die Menge der Primzahlen ist größer als jede endliche Menge
	"Das ist ja wirklich... fast poetisch schön"

	2*3*5 + 1 = 31
	2*3*5 + 2 = 32 mod 2 = 0
	2*3*5 + 3 = 33 mod 3 = 0
	2*3*5 + 4 = 34 mod 2 = 0
	2*3*5 + 5 = 35 mod 5 = 0
	2*3*5 + 5 + 1 = 36 mod 2 = 0
	-> alle 5 nicht Primzahlen (37 schon wieder)

	2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031
	... bis ...
	2*3*5*7*11*13 + 13 = 30043
	2*3*5*7*11*13 + 13 + 1 = 30044
	-> alle 13 aufeinander folgende Zahlen, die zusammengesetzt wurden

	"Es gibt beliebig große Primzahllücken" (Euklid)
	Manchmal ewig lange Lücken und manchmal direkt aufeinander folgend

Euklid
	evtl. nicht existent (wie Bourbaquie)
	Eratosthenes war in zumindest jeder Wissenschaft der zweitbeste

Eratosthenes
	2 Messungen zur Messung des Erdumfangs
	Griechen: 1 ist keine Zahl, sondern eine Einheit
	Sieb des Eratosthenes (hier: bis 100)
	2 -> 4 wird als Erstes neu durchgestrichen
	3 -> 9 wird als Erstes neu durchgestrichen
	4 -> 16 wird als Erstes neu durchgestrichen
	5 -> 25 
	6 -> 36
	...
	11 -> IndexError: list index out of range
		deshalb Berechnung nur bis sqrt(100)

	Quadratzahlen bis 100 = 10
	Primzahlen bis 100 = 25
	Quadratzahlen bis 1 Million = 1000
	Primzahlen bis 1 Million < 87 000
	"Primzahlen gibt es wie Sand am Meer. Man muss sie nur sieben"

	1931 & 1933 => Primzahlzwilling (da nur eine natürliche, gerade Zahl entfernt)
	1933 & 1949 => wieder große Lücke
	1949 & 1951 => Primzahlzwilling
	... (total unregelmäßig)

Gibt es eine Formel, mit der man Primzahlen bekommt?
Gibt es eine Formel, mit der man alle Primzahlen bekommt?
	Existiert (hochkomplex), aber sinnlos
	Einfache Formel, die nur Primzahlen liefert?
		x = 2 ^^
	Von Euler verwendet (in algebraischer Zahlentheorie wichtig)
		n * (n + 1) + 41
		=> 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, ...
		40*41 + 41 => keine Primzahl
	=> Mit einer Variable in polynomialer Formel nicht möglich
	Mersenne (zur Zeit Pascals; Obertonreihe entdeckt)
		2^p - 1 (manchmal Primzahlen)
		p ... Primzahl
		2, 3, 5, 7 ... wahre Aussage
		2^11 - 1 (2047) falsch :-(
		13, 17, 19 ... wieder richtig
		31 (2147483647) wieder falsch
	Edouard Lucas (auch Franzose; Lehrer)
		p^127 - 1 ... größte (mit Hand errechnete) Primzahl
		170 ...
		Lucas-Tast
	GIMPS
		Great Internet Mersenne Prime Search
		34 Mersennsche Primzahlen gefunden
		p = 32 582 657
		Annahme:
			2014 Primzahlen mit 100 Mio Stellen
			2024 Primzahlen mit Mrd Stellen
	Palindromsche Primzahlen:
		11
		101 131 151 181 191
		313 353 373 383
		727 757 787 797
		919 929
		10301 ...

		    2
		  30203
		133020331
		...
		"40 Jahrhunderte blicken auf euch herab" (Napoleon)
		"Meine sehr geehrte Damen und Herren, die Ewigkeit blickt auf sie herab" (Taschner)
		"Wenn die Erde nicht mehr ist, die Pyramide bleibt" (Taschner)