NOTES TO Lecture on prime numbers
title: Prime numbers - 4294967297
lecturer: Rudolf Taschner
date: 08.01.16 bzw. 09.03.24
author: Lukas Prokop
Introduction: Very interesting lecture on the mathematical background of prime numbers
via: http://mathcast.org/

"Unter Primzahlen versteht man alle Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind"
Primzahlen treten nicht in Reihenfolge/System auf
Fermat wollte herausfinden, ob Primzahlen berechenbar sind

Systematik suchen:
	3 = 2^1 + 1
	5 = 2^1*2^1 + 1
	17 = 2^2*2^2 + 1
	257 = 2^4*2^4 + 1
	65537 = 2^8*2^8 + 1
	...

Primzahl, wenn Zahl durch alle niedrigeren Primzahlen teilbar ist
(275 nur bis 17, weil 17^2 größer als Primzahl ist). 54 Divisionen für Berechnung von 275 notwendig.

andere Idee, um Primzahl-Validität zu realisieren:
	n = a^2 + b^2 
	wenn nur eine Loesung fuer a, b dann Primzahl
	wenn mehrere Loesungen fuer a, b dann keine Primzahl
	Ergibt aber auch nur einen Teil der Primzahlen ... 
	[ Notiz: wenn Primzahl % 4 == 3, dann nicht als Quadratzahl darstellbar

	Beispiel:
		65 = 64 + 1
		65 = 49 + 16
		=> 65 ist keine Primzahl

		275 = 256 + 9 = 16^2 + 3^2 
		=> weitere Loesung?

		Wie feststellen, ob weitere Loesung? Idee:
			257 - 15^2 = 32
			257 - 14^2 = 61
			...

		32, 61, ... keine Quadratzahlen (nur 5 Werte zu überprüfen) bzw.
		Je groesser (zweite Quadratzahl), desto groesserer Abstand zu Null (deshalb keine Berechnungen mehr)

		65537 - 180^2
		429 = 2^32 + 1

Euler:
	wenn Primzahlen periodisch, dann irgendwas mit 2^a + 1
	Vorkommen denen der Quadratzahlen recht ähnlich

	2^1 + 1 = 3
	2^2 + 1 = 5
	2^4 + 1 = 17
	2^8 + 1 = 257
	2^16 + 1 = 65537
	danach Schluss... keine weiteren?

Mathematische Community sucht nach Primzahlen:
	2^{4 294 967 296} + 1 ist keine Primzahl (größte Zahl nachgewiesene Zahl)

	"Meine Damen und Herren, die Zahl hat in dieser weiten Welt keinen Vergleich. 
	Nicht einmal die Atome des Universums. Die sind ein nichts dagegen. Gegen diese 
	Zahl. Nirgendwo, nirgendwo in dem weiten Universum. Nicht in Zeit, nicht in Raum, 
	nicht in Materie werden sie dieser Zahl auch nur mit irgendeiner Einheit vergleichbar 
	begegnen. Aber wir wissen von ihr etwas: Sie ist keine Primzahl!"
	(Taschner - Teil 1 bei 37 Minuten 04 Sekunden)

	Hausübung: Gibt es nach dieser Zahl noch Primzahlen?
	Auf jeden Fall: Es gibt unendlich viele Primzahlen (Beweis folgt)

	2^2^{2 478 782} + 1 ist Rekord (durch 3*2^{2 478 785}+1 teilbar)

	"Ich finde das ist so ein wunderbarer Gedanke. Die Sprache läuft den Zahlen 
	nach und die Zahlen laufen der Sprache davon."

	"Mathematik ist wie Sex. Man macht Kinder damit - das ist schon richtig - aber dafür 
	ist er nicht geschaffen. Man möchte Lust dabei auch empfinden. Dafür betreibt man ihn."